民事案件申请调取证据的流程主要包括以下步骤：

一、确定需要调取的证据

在民事案件中，当事人需要先确定哪些证据对自己有利，且这些证据是否属于自身无法收集的情况，如证据由国家有关部门保存，或者涉及国家秘密、商业秘密、个人隐私等。

二、向法院提交书面申请

当事人及其诉讼代理人需要向人民法院提交书面申请来请求法院调取证据。申请书应当载明被调查人的姓名或者单位名称、住所地等基本情况、所要调查收集证据的内容、需要由人民法院调查收集证据的原因及其要证明的事实。

申请必须在举证期限届满前提出。

三、法院审查并调取证据

人民法院在收到申请后，会审查申请是否符合法律规定，即是否符合《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》中关于申请调查收集证据的条件。

如果法院认为申请符合条件，便会依职权向有关单位和个人调查收集证据。有关单位和个人不得拒绝，应当配合法院的调查取证工作。

四、证据的使用和质证

法院调取的证据应当在法庭上出示，并由当事人互相质证。这样做是为了确保证据的客观性、真实性和关联性。

质证过程中，当事人可以对证据的真实性、合法性和关联性提出意见和异议。

总结来说，民事案件申请调取证据的流程包括确定需要调取的证据、向法院提交书面申请、法院审查并调取证据以及证据的使用和质证。在整个过程中，当事人及其诉讼代理人需要积极配合法院的工作，确保案件能够得到公正、公平的审理。